曲線にはどんな種類があって、どう社会に役立っているのか（その３）－カテナリー曲線－

学生時代に、複雑な算式を図表で表すと、いろんな形の曲線が描かれるのを勉強したと思う。この時には、「へー、そうなんだ」ぐらいの認識でおられた方も多く、むしろ、こうした算式の取扱いに四苦八苦して、結果として得られている曲線が、社会において、あるいは自然界において、どのような形で現れていて、どう役立っているのか、については、あまり説明がなく、殆ど勉強する機会もなかったのではないかと思われる。
ということで、今回の研究員の眼のシリーズでは、「曲線」について、どんな種類があって、それらが実際の社会における、どのような場面で現れてきて、どう社会に役立っているのかについて、報告している。これまでの2回の研究員の眼では、楕円、放物線、双曲線等の「円錐曲線」について報告した。
今回は、「カテナリー曲線」について報告する。「カテナリー曲線（catenary curve）」又は「懸垂曲線」というのは、ロープや紐等の柔軟性のある線状のものの両端を持って垂らしたときにできる曲線である。ただ単に「カテナリー」という言い方もする。カテナリーの名称は、ラテン語で「鎖」を意味する「catena」に由来しており、まさに「鎖の両端を持って垂らした時にできる曲線」ということになる。
カテナリー曲線を示す方程式は、スイスの数学者のヨハン・ベルヌーイやドイツの数学者のゴットフリート・ライプニッツによって、1691年に初めて発表されている。
具体的には、このカテナリー曲線は、以下の算式で表される。これにより、カテナリー曲線は、双曲線関数ｙ＝cosh(x) （ハイパボリックコサイン）と相似になっており、カテナリー曲線は、双曲線関数 ｙ＝a cosh(ｘ／a) ということになる。
ここで、aは媒介変数と呼ばれるもので、aが小さいほどより鋭角的な曲線になる。一見すると、カテナリー曲線は、放物線に似ていることがわかる。ともに、下に凸な曲線で、頂点を通る直線を軸として対称になっている。ところが、カテナリー曲線は、放物線とは異なるもので、両者は微視的には頂点付近でほぼ一致した形になっているが、巨視的にはカテナリー曲線は放物線に比べてより傾きが大きく鋭角性の高い形状となっている。
これを算式で示すと、以下の通りとなっている。
マクローリン展開によれば、となることから、で近似されることになり、これはy軸で対
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